作業十一

1.本人5/24有來上課，謝謝老師。

2.某凸輪開始時先在0-100∘區間滯留，然後提升後在200至260∘區間滯留，其高度（衝程）為5公分，其餘l由260∘至360∘則為返程。升程採用等加速度運動，返程之運動型式自定。設刻度區間為10∘，試繪出其高度、速度及加速度與凸輪迴轉角度間之關係。


在老師課程網站上第十章凸輪運動有對凸輪詳細的剖析以及介紹，這題我們使用老師的給的function plot_dwell

程式碼如下
function plot_dwell(ctheta,s,pattern,range)
figure(1);clf;
[y,yy,yyy]=dwell(ctheta,range,pattern)
%[y,yy,yyy]=dwell(ctheta,range,pattern)亦取自老師的課程網頁

h1=plot(ctheta,y*s,'b-',ctheta,yy*s,'k-',ctheta,yyy*s,'r-')
legend('Displacement','Velocity','Acceleration',3)
xlabel('Elapsed Angle, degrees')
grid

而所需輸入的參數如下：
*ctheta = 需要計算之凸輪角度，單位為度數。(可以使用矩陣輸入之型式)
*s=衝程，極為所上升之高度。
*pattern = 運動的型式，二元素之列矩陣，其代碼如下：
1:等速運動uniform
2:抛物線parabolic
3:簡諧simple harmonic
4:擺線cycloidal　
5:多項式polynomial motion
*range =升程及返程之範圍，以矩陣表示

我們分析此程式中[y,yy,yyy]=dwell(ctheta,range,pattern) function中，我們知道所輸出的値表示下列意思：
*y：位移
*yy：對於凸輪角ctheta之第一導數；
* yyy ：對於凸輪角ctheta之第二導數。

因此，有了這些function，我們只要在螢幕上輸入

plot_dwell(0:10:360,5,[2,5],[100 200 260 360])

*0:10:360 凸輪從0到360度每隔十度來計算
*5 衝程
* [2 5] 2表示升程維等加速度拋物線運動
5表示回程自定的多項式運動
* [100 200 260 360]
標示升程與回程的角度

即可以得到位置速度加速度與角度之關係圖。





3.設凸輪之半徑為15公分，以順時針方向旋轉，其從動件為梢型，垂直接觸，長為10公分，從動件之運動係依照第二項之運動型式。試繪出此凸輪之工作曲線。

若要描繪凸輪的工作曲線，可以從老師的網頁中參考
function [x,y]=pincam(cth,r0,s,e,L,range,pattern,cw)
其中
*cth:凸輪角度，度數
*r0:凸輪基圓半徑
*e:偏置量
*s:從動件衝程
*L:從動件長度
*cw:凸輪轉動方向（反時鐘為正，順時鐘為負）
*pattern 運動的型式motion
*range 升程及返程之範圍

因此，依照題意，
在螢幕上輸入

[x,y]=pincam([0:10:360],15,5,0,10,[100 200 260 360],[2 3],-1)

可得到凸輪之工作曲線。



4. 你能讓此凸輪迴轉嗎？

要讓凸輪旋轉其實不難，只要將for迴圈妥善利用即可。我寫ㄧ個function pincam2，運用第三題老師所給的pincamrotate funtion，再加一些旋轉的程式碼分析其轉動情形。
我的程式碼如下：

function [x,y]=pincamrotate(cth,r0,s,e,L,range,pattern,cw)
%Find the pin type cam with an offsect e
%Inputs:
% cth:angle of cam, degrees
% r0:radius of base circle
% e:offset
% s:stroke
% L:length of pin
% cw:rotation direction of cam(-counterclockwise,+clockwise
%pattern = denote the type of motion used(a 3 element-row matrix)
% 1:uniform 2:parabolic 3:simple harmonic 4: cycloidal
% 5:polynomial motion
% example [4 3]
%range =the degrees the specific motion starts, eg.[90 180 240]
% Example: [x y]=pincam([10 60],5,2,1,10,[90 180 240],[4 3],-1)
clf;
th=cth*pi/180;
s0=sqrt(r0*r0-e*e);
for i=1:length(cth)
t=th(i)*cw;
A=[cos(t) -sin(t);sin(t) cos(t)];
[ym,yy,yyy]=dwell(cth(i),range,pattern);
x0=s0+ym*s;
Sx=[0 x0 x0+L;e e e];
X=A\Sx;
x(i)=X(1,2);y(i)=X(2,2);
end

%以下是我多加的，和第三題程式不同的地方

%寫一個for迴圈，從第一次跑到第36次
for n=1:36
%以旋轉公式寫出各點經旋轉後的座標

a=x+r0*cosd(10*n);
b=y+r0*sind(10*n);

%描畫各點，再將它們的軌跡以紅色o表達
plot([0 a],[0 b],'ro',a,b,'k-');

%設定座標範圍
axis ([-50 50 -50 50]);

%每次動作停留0.1秒
pause(0.1);
clf
end

依照題意，在螢幕上輸入

pincam2([0:10:360],15,5,0,10,[100 200 260],[2 1],-1)

可得動畫如下

作業十

1.本人5/17有來上課，謝謝老師。
2.
*請思考速度與加速度的問題，當一桿以某特定點Ｍ等角速度迴轉時，其端點Ｐ之速度方向如何？
其加速度方向如何？




設角速度為w，桿長r
P點的速度則為 w x r
方向為桿運動之切線方向

其加速度為w x w x r
其方向由P指回M點

*若該特定點Ｍ復以等速水平運動，則同一端點Ｐ之速度與加速度方向會變為如何？

此時的P點速度為 VM + w x r (其中V代表M以V速度在移動)
而加速度仍是為w x w x r(方向由P指回M點)
注意:這些加減並非純向量加減，必須考慮方向

*若Ｍ點同時也有加速度，則點Ｐ會有何變化？



M點有加速度，所以P點不再只有法線加速度而已，還有一個切線加速度。和M有水平速度不一樣的地方在於，M有加速度只有影響速度和加速度的大小而已。
AP=AM＋ωｘ(ωxｒ)


*若以此推理四連桿的運動，則點Ｐ與Ｑ之速度與加速度方向會與桿一（固定桿）之兩端點之關係如何？與我們前面的作業分析結果有無共通之處？



固定桿兩端為O點和R點著地，所以其速度與加速度皆為0，
若以第二桿為驅動桿，
則Ｐ點速度為
VP=Wop x Rp/o　　方向與桿二垂直

AP=[αx Rp/o]＋[Wop ｘ (Wop x Rp/o)]　
前項為切線加速度與桿２垂直，後項為法線加速度指向O點


Q點的速度與加速度
由於P點有速度
所以Q點的速度為
Vq = Vp + Wpq x Rq/p
但是由於Vq 是硍R點連接 而R點為接地點
所以Q點的速度也為 Wq r x Rq/r　　方向與桿四垂直

同樣加速度也是
Aq = Ap＋α x Rq/p + Wpq x (Wpq x Rq/p)
也等於 α x Rq/r + Wqr x (Wqr x Rq/r)　
切線加速度與桿四垂直，法線加速度指向R點



3.設有一運動之曲柄滑塊連桿組合，設滑塊之偏置量為零，且在水平方向移動，試以此機構之曲桿長度及角度，以及連結桿之長度為輸入項，利用matlab寫出一程式計算在不同曲柄角度時，六點瞬心之對應位置。可順便探討六點瞬心與曲柄角間之關係。
關於這題，我想連桿部份就和第九次的作業大致相同，其重點部份在於瞬心的運用。我們知道有4桿，所以依照公式我們能得到有6個瞬心，(N*(N-1)/2)，瞬心的定位法在課本5-20都有詳細敘述，為了標示這些點，我寫了個function slider_4，程式碼如下：


function slider_4(R,L,e)
%先假設從水平方向開始
th1=0;
if R>L
%算出th2
th2=asind(L/R);
else
%th2極限值到90度就不能再畫瞬心
th2=90;
end

th=linspace(th1,th2,200 )
%設定角度間隔，角度範圍分成200等份
[d,th3]=slider_solve(th,R,L,e,1)
%呼叫slider_solve 以求出d

x=R*cosd(th),
y=R*sind(th)
%利用th求出B點座標(x,y)

for n=1:200
%建立一個for迴圈

hold on;
%設定座標範圍
line([0,x(n),d(n)],[0,y(n),e]);
%將A B C三點聯成直線
line([d(n)-3,d(n)+3,d(n)+3,d(n)-3,d(n)-3],[e-2,e-2,e+2,e+2,e-2]);
%畫出滑塊
ground(0,0,2,0)
anchor(-2,0,0,0)
%畫底座

%用plot描繪出運動的各點
plot(0,0,'ro');
plot(x(n),y(n),'ro');
plot(d(n),e,'ro');
plot([0,0],[0,e-d(n)*(y(n)-e)/(x(n)-d(n))],'ro:');
plot([x(n),0],[y(n),e-d(n)*(y(n)-e)/(x(n)-d(n))],'ro:');
plot([x(n),d(n)],[y(n),y(n)*d(n)/x(n)],'ro:');
plot([d(n),d(n)],[0,y(n)*d(n)/x(n)],'ro:');

axis equal;
%設定座標範圍
axis ([-10 30 -10 100]);

pause(0.001);
%每個0.5秒停格一次
clf;
%清除動畫前一次畫面

end
在視窗中輸入slider_4(15,8,0)
其可得到下列動畫
動畫

作業九

A:本人5月3日有來上課，謝謝老師。

B:本人於5月10日下午兩點鐘有參加meeting

C:

請將偏置機構作另類分析，分析過程可採你所知的方式（包括講義中所列的方法）。運動中分以曲桿驅動及滑塊驅動的方式，並說明運動的界限或範圍。設此機構之曲桿長Rcm ， 連桿Lcm，滑塊之偏置量為10cm等數據作分析。其中，R=10+(學號末二碼），Ｌ＝Ｒ+5 。

ANS

所謂滑塊偏置機構，即是滑塊滑動方向和水平方向距離e(偏置量)。




我們若要分析此機構，我們首先必須求出偏移量對角度限制的影響。上圖中，我們若要讓此偏置機構動作，必須藉由其中的關係式，求出B點與C點的標。而在課本第四章中，我們參考其function[s,theta21,theta22]=slider_limit(R,L,e)的程式，可求出B點座標。但是我們可以將其函數稍微整理一下，用sind()，cosd()代替多出來角度的轉換，可使程式更為簡易。以下是我的function：

function [s,th1,th2]=slider_limit(R,L,e)
th1=asind(e./(R+L));
th2=180+asind((L-e)/R);
s=(R+L).*cosd(th1)-abs(R-L).*cosd(th2);

(其中s是滑塊的衝量(移動量)，th1，th2是AB曲桿和水平夾角度的極限值)

在這裡我們必須注意的是th2的運算，課本所給的是R大於L的時候，所以輸出的値不會出現複數，但是老師給的値是L>R，故我們必須修改一下th2=180+asind((L-e)/R)。

爲了求出滑塊(C點)的座標，我們可以課本上的

function [d,theta3]=slider_solve(theta2,R,L,e,mode)
其程式如下：

function [d,theta3]=slider_solve(theta2,R,L,e,mode)
if nargin<5, mode="0;end" theta="theta2*d2g;" cc="(e-R.*sind(theta))./L;">=0,
theta3=asind(cc);
else
theta3=asind(-cc)+pi;
end
d=L.*cosd(theta3)+R.*cosd(theta);


*驅桿驅動

建立一個function slider_analysis(R,L,e)的函數，其程式碼如下：

function slider_analysis(R,L,e)
[s,th1,th2]=slider_limit(R,L,e)
%先呼叫slider_limit，以求出角度極限值
th=linspace(th1,th2,200 )
%設定角度間隔，角度範圍分成200等份
[d,th3]=slider_solve(th,R,L,e,1)
%呼叫slider_solve 以求出d

x=R*cosd(th),
y=R*sind(th)
%利用th求出B點座標(x,y)

for n=1:200
%建立一個for迴圈
axis ([-40 50 -30 40]);
axis equal;
%設定座標範圍
line([0,x(n),d(n)],[0,y(n),e]);
%將A B C三點聯成直線
line([d(n)-3,d(n)+3,d(n)+3,d(n)-3,d(n)-3],[e-2,e-2,e+2,e+2,e-2]);
%畫出滑塊
ground(0,0,2,0)
anchor(-2,0,0,0)
%畫底座
pause(0.05);
%每個0.5秒停格一次
clf;
%清除動畫前一次畫面

end


*滑塊驅動

若是滑塊驅動，則會比區柄驅動多一部份程式。
我建立了slider_analysis2，其程式碼如下：
function slider_analysis2(R,L,e)

[s,th1,th2]=slider_limit(R,L,e)
th=linspace( th1, th2,200 )
[d,th3]=slider_solve(th,R,L,e,1)
x=R*cosd(th),
y=R*sind(th)

for n=1:200
line([0,x(n),d(n)],[0,y(n),e]);
line([d(n)-3,d(n)+3,d(n)+3,d(n)-3,d(n)-3],[e-2,e-2,e+2,e+2,e-2]);
ground(0,0,2,0)
anchor(-2,0,0,0)
pause(0.01);
clf;
axis ([-100 100 -100 100]);
end
%多加的部份
th=linspace( th2,180-th1,200 )
[d,theta3]=slider_solve(th,R,L,e,-1)
%若mode輸入為-1，則輸出角度會和mode值為1時互補，這是滑塊驅動必須考慮的部份。
%這次角度的範圍要從th2到180-th1

x=R*cosd(th),
y=R*sind(th)

for n=1:200


line([0,x(n),d(n)],[0,y(n),e]);
line([d(n)-4,d(n)+4,d(n)+4,d(n)-4,d(n)-4],[e-3,e-3,e+3,e+3,e-3]);
ground(0,0,2,0)
anchor(-2,0,0,0)
pause(0.01);
clf;
axis ([-100 100 -100 100]);
end


在螢幕上輸入
slider_analysis(20,25,10)

slider_analysis2(20,25,10)

即可得到曲桿驅動以及滑塊驅動的圖形

曲桿驅動


滑塊驅動

作業八

A：本人4月26日曾來上課，謝謝老師。
B：
有一組四連桿，其桿長分別為r=[4 3 3 5]，由桿2驅動，設第一固定桿角度theta1=0度; 角速度 td2=10rad/s; 角加速度tdd2=0 rad/s^2。

1. 設桿2角度theta2=45度時，求各點之位置、速度與加速度為何？

我們可以參考老師網頁的第六章，使用function f4bar，其中，function的輸入原則為f4bar(r,theta1,theta2,td2,tdd2,mode,linkdrive) r是各桿長度，theta1:第一桿之水平角，theta2:驅動桿之水平夾角，td2:驅動桿之角速度(rad/sec)，tdd2:驅動桿之角加速度(rad/sec^2)，mode:+1 or -1. 組合模數，負值表示閉合型，正值為分支型，linkdrive :0 (驅動桿為第二桿); 1 (驅動桿為第三桿)，所以依照題目的意思，我們輸入
[val,form]=f4bar([4 3 3 5],0,45,10,0,-1,0)
得到
val =
1.0e+003 *
0.0040 0 0 0 0.0212 + 0.0212i 0.0021 + 0.0021i
0.0021 + 0.0021i 0.0450 0.0100 0 0.0041 - 0.0245i 0.0032 + 0.0049i
0.0011 + 0.0028i 0.0695 -0.0163 0.4914 -0.2121 - 0.2121i 0
-0.0008 + 0.0049i 0.0995 -0.0050 0.3836 -1.8712 - 0.4391i 0
form =
1
此處form=1表示可連成四連桿

*各點位置：
O(0,0)
P(2.12,2.12)
Q(2.12+1.05,2.12+2.81)=(3.17,4.93)
(即為value中第一欄第三行的向量值加上P點座標)
R(4,0)

*各桿跟水平線的夾角
在螢幕上輸入
>> abs(val(:,2))'
ans =

0 45.0000 69.4856 99.5246
即為各桿跟水平線的夾角
*各桿的角速度
>> abs(val(:,3))'

ans =

0 10.0000 16.2681 4.9677
即為各桿的角速度
*各桿的角加速度
>> abs(val(:,4))'

ans =

0 0 491.4428 383.6120
即為各桿的角加速度

2. 繪出此四連桿之相關位置及標明各點之速度方向及大小（以程式為之)。

首先，我們可以在老師第六張講義中找到function drawlinks，存取後在螢幕上輸入drawlinks([4 3 3 5],0,45,-1,0)，及可得到下圖。



3. 當桿２迴轉時，求出此組四連桿之限制角度，並繪出其位置（以程式為之）。

我們可以清楚地從老師第六張講義了解function drawlimits在角度限制上的運用。另外，這程式亦結合了fb_angle_limits，因此我們必須先存取此檔案。
在螢附上輸入：
drawlimits([4 3 3 5],0,1,0)
可得
Qstart =

28.9550


Qstop =

331.0450

此類型角度限制在右邊，如圖所示。



4. 設theta2=[0:20:360]，試繪出此組四連桿之重疊影像，解釋為何有些沒有值。
依照題意，我們輸入
clf;
for i=0:20:360
drawlinks([4 3 3 5],0,i,1,0);
end
可以得到一個圖，但是會出現：
Combination of links fail at degrees 0.0
Combination of links fail at degrees 20.0
Combination of links fail at degrees 340.0
Combination of links fail at degrees 360.0

這是因為我們剛剛已經藉由function drawlimits得知此四連桿由第二桿驅動時的角度限制(28.95度~331.04度)，故在此範圍外的角度沒有值，也就是說，當旋轉到這些角度時，無法構成四連桿。

5. 若將問題三考慮在內，只在可迴轉的範圍內迴轉，請問你能讓此組四連桿作成動畫方式迴轉嗎？
我們首先必須找出角度的範圍，所以設一個迴圈從29~331每隔五度跑一次，其次是要注意標示pause的時間，為了讓畫面美觀，更可以設定座標範圍。
AXIS([-5 5 -5 5])

for i=29:5:331
drawlinks([4 3 3 5],0,i,1,0);
pause(0.2)
clf;

end
或者使用move_4paths的function，並輸入move_4paths([4 3 3 5 ],2,-30,3,0,10,0,1,0,4,100)及可得到動畫及其軌跡的移動。
動畫